卡特兰数公式(卡特兰标数法)
1. 卡特兰数公式
可以分析，当n=1时，只有1个根节点，则只能组成1种形态的二叉树，令n个节点可组成的二叉树数量表示为h(n)，则h(1)=1; h(0)=0;
当n=2时，1个根节点固定，还有2-1个节点。这一个节点可以分成（1,0），（0,1）两组。即左边放1个，右边放0个；或者左边放0个，右边放1个。即：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=2，则能组成2种形态的二叉树。
当n=3时，1个根节点固定，还有2个节点。这2个节点可以分成（2,0），（1,1），（0,2）3组。即h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=5，则能组成5种形态的二叉树。
以此类推，当n>=2时，可组成的二叉树数量为h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)*h(0)种，即符合Catalan数的定义，可直接利用通项公式得出结果。
令h(1)＝1,h(0)=1，catalan数（卡特兰数）满足递归式：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)
另类递归式：
h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
该递推关系的解为：
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)
2. 卡特兰标数法
卡特兰(Cattleya hybrida)又称为嘉德丽亚兰、卡特利亚兰。为兰科卡特兰属多年生附生草本。由于本属中大多数颜色艳丽的，故此被称为“兰之王后”。假鳞茎呈棍棒状或圆柱状，顶部生有叶1枚～3枚；叶厚而硬，中脉下凹；花单朵或数朵，着生于假鳞茎顶端，花大而美丽，色泽鲜艳而丰富
3. 卡特兰数公式推导
1、斐波那契数列斐波那契数列，又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，提出时间为1202年。
2、递推数列递推数列是可以递推找出规律的数列，找出这个规律的通项式就是解递推数列。求递推数列通项公式的常用方法有：公式法、累加法、累乘法、待定系数法等共十种方法。
3、Look-and-say 数列Look-and-say 数列是数学中的一种数列，它的名字就是它的推导方式：给定第一项之后，后一项是前一项的发音。
4、帕多瓦数列帕多瓦数列是由帕多瓦总结而出的。它的特点为从第四项开始，每一项都是前面2项与前面3项的和。
5、卡特兰数卡特兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名。
4. 卡特兰数公式运用
根据 卡特兰数 公式：f(n)= (2*n)!/ (n!* (n+1)！），为阶乘。所以 f(4) = 14。具有4个节点的普通树有14中形态。
5. 卡特兰数公式什么时候学
华人数学家--李善兰
【李氏恒等式】数学家李善兰在级数求和方面的研究成果，在国际上被命名为“李氏恒等式”。
华人数学家--华罗庚
【华氏定理】数学家华罗庚关于完整三角和的研究成果被国际数学界称为“华氏定理”；另外他与数学家王元提出多重积分近似计算的方法被国际誉为“华—王方法”。
华人数学家--苏步青
【苏氏锥面】数学家苏步青在仿射微分几何学方面的研究成果国际上命名为“苏氏锥面”。
华人数学家--熊庆来
【熊氏无穷级】数学家熊庆来关于整函数与无穷级的亚纯函数的研究成果被国际数学界誉为“熊氏无穷级”。
华人数学家--陈省身
【陈示性类】数学家陈省身关于示性类的研究成果被国际上称为“陈示性类”。
华人数学家--周炜良
【周氏坐标】数学家周炜良在代数几何学方面的研究成果被国际数学界称为“周氏坐标；另外还有以他命名的“周氏定理”和“周氏环”。
华人数学家--吴文俊
【吴氏方法】数学家吴文俊关于几何定理机器证明的方法被国际上誉为“吴氏方法”；另外还有以他命名的“吴氏公式”。
华人数学家--柯召
【柯氏定理】数学家柯召关于卡特兰问题的研究成果被国际数学界称为“柯氏定理”；另外他与数学家孙琦在数论方面的研究成果被国际上称为“柯—孙猜测”。
华人数学家--陈景润
【陈氏定理】数学家陈景润在哥德巴赫猜想研究中提出的命题被国际数学界誉为“陈氏定理”。
华人数学家--陈永川
【陈氏文法】数学家陈永川在组合数学方面的研究成果被国际上命名为“陈氏文法”。
华人数学家--周海中
【周氏猜测】数学家周海中关于梅森素数分布的研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。
华人数学家--姜伯驹
【姜氏空间】数学家姜伯驹关于尼尔森数计算的研究成果被国际上命名为“姜氏空间”；另外还有以他命名的“姜氏子群”。
华人数学家--陆启铿
【陆氏猜想】数学家陆启铿关于常曲率流形的研究成果被国际上称为“陆氏猜想”。
华人数学家--杨乐和张广厚
【杨—张定理】数学家杨乐和张广厚在函数论方面的研究成果被国际上称为“杨—张定理”。
华人数学家----王浩
【王氏悖论】数学家王浩关于数理逻辑的一个命题被国际上定为“王氏悖论”。
华人数学家——侯振挺
【侯氏定理】数学家侯振挺关于马尔可夫过程的研究成果被国际上命名为“侯氏定理”。
英国皇家学会华人数学家——景乃桓
【景氏算子】数学家景乃桓在对称函数方面的研究成果被国际上命名为“景氏算子”。
6. 数据结构卡特兰数公式
（1) 在二叉树中，第i层的结点总数不超过2^(i-1)；
(2) 深度为h的二叉树最多有2^h-1个结点(h>=1)，最少有h个结点；
(3) 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1；
(4) 具有n个结点的完全二叉树的深度为int（log2n）+1；
(5)有N个结点的完全二叉树各结点如果用顺序方式存储，则结点之间有如下关系：
若I为结点编号则 如果I<>1，则其父结点的编号为I/2；
如果2*I<=N，则其左儿子（即左子树的根结点）的编号为2*I；若2*I>N，则无左儿子；
如果2*I+1<=N，则其右儿子的结点编号为2*I+1；若2*I+1>N，则无右儿子。
(6)给定N个节点，能构成h(N)种不同的二叉树。h(N)为卡特兰数的第N项。h(n)=C(n,2*n)/(n+1)。
扩展资料：类型(1)完全二叉树——若设二叉树的高度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第h层有叶子结点，并且叶子结点都是从左到右依次排布，这就是完全二叉树。
(2)满二叉树——除了叶结点外每一个结点都有左右子叶且叶子结点都处在最底层的二叉树。
(3)平衡二叉树——平衡二叉树又被称为AVL树（区别于AVL算法），它是一棵二叉排序树，且具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。
二叉排序树又叫二叉查找树或者二叉搜索树，它首先是一个二叉树，而且必须满足下面的条件：
1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根节点的值；
2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
3）左、右子树也分别为二叉排序树。
若一个结点有子树，那么该结点称为子树根的“双亲”，子树的根称为该结点的“孩子”。有相同双亲的结点互为“兄弟”。一个结点的所有子树上的任何结点都是该结点的后裔。从根结点到某个结点的路径上的所有结点都是该结点的祖先。
结点的度：结点拥有的子树的数目。
叶子结点：度为0的结点。
分支结点：度不为0的结点。
树的度：树中结点的最大的度。
层次：根结点的层次为1，其余结点的层次等于该结点的双亲结点的层次加1。
树的高度：树中结点的最大层次。
森林：0个或多个不相交的树组成。对森林加上一个根，森林即成为树；删去根，树即成为森林。
7. 卡特兰数公式证明
不是每一个数列都有通项公式，比如0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0。数列以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。著名的数列有斐波那契数列，三角函数，卡特兰数，杨辉三角等。扩展资料：数列的函数理解：1、数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。2、用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法；b。图像法；c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。3、函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。
8. 卡特兰数公式形式
以中国人姓名命名的数学成果 1.刘徽原理、刘徽割圆术：魏晋时期数学家刘徽提出了求多面体体积的理论，在数学史上被称为“刘徽定理”；他发现了圆内接正多边形的边数无限增加，其周长无限逼近圆周长，创立了“刘徽割圆术”.
2.祖率：南北朝数学家祖冲之将π计算到小数点后第七位，比西方国家早了1000多年.被推崇为“祖率”.
3.祖暅原理：祖冲之之子祖暅提出了“两个几何体在等高处的截面积均相等，则两体积相等”的定理，该成果领先于国外2000多年，被数学界命名为“祖暅原理”.
4.贾宪三角：北宋数学家贾宪提出“开方作法本源图”是一个指数是正整数的二项式定理的系数表，比欧洲人所称的“巴斯卡三角形”早六百多年，该表称为“贾宪”三角.
5.秦九韶公式：南宋数学家秦九韶提出的“已知不等边三角形田地三边长，求其面积公式”，被称为“秦九韶”公式.
6.杨辉三角：南宋数学家杨辉提出的“开方作法本源”，后又称“乘方术廉图”，被数学界命名为“杨辉三角.”
7.李善兰恒等式：清代数学家李善兰在有关高阶差数方面的著作中，为解决三角自乘垛的求和问题提出的李善兰恒等式，被国际数学界推崇为“李善兰恒等式”.
8.华氏定理、华—王方法：1949年，我国著名数学家华罗庚证明了“体的半自同构必是自同构自同体或反同体”.1956年阿丁在专著《几何的代数》中记叙了这个定理，并称为“华氏定理”.此外，他还与数学家王元于1959年开拓了用代数论的方法研究多重积分近似计算的新领域，其研究成果被国际誉为“华—王方法.”
9.胡氏定理：我国数学家胡国定于1957年在前苏联进修期间，关于数学信息论他写了三篇论文，其中的主要成就被第四届国际概率论统计会议的文件汇编收录，并被誉为“胡氏定理”.
10.柯氏定理：我国数学家柯召于20世纪50年代开始专攻“卡特兰问题”，于1963年发表了《关于不定方程x2－1=y》一文，其中的结论被人们誉为“柯氏定理”,另外他与数学家孙琦在数论方面的研究成果被称为“柯—孙猜测”.
11.王氏定理：西北大学教授王戍堂在点集拓扑研究方面成绩卓著，其中《关于序数方程》等三篇论文，引起日、美等国科学家的重视，他的有关定理被称为“王氏定理”.
12.陈氏定理：我国著名数学家陈景润，于1973年发表论文，把200多年来人们一直未能解决的“哥德巴赫猜想”的证明推进了一大步，现在国际上把陈景润的“1+2”称为“陈氏定理”
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